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证明有限多个可数集的笛卡尔积是可数的。用数学归纳法证明。

gecimao 发表于 2019-08-04 07:58 | 查看: | 回复:

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  展开全部因为有限个自然数集的笛卡尔积能与自然数集一一对应。可数就是能和自然数一一对应。非负有理数(两个自然数集的笛卡尔积)和自然数等势(对应为0→0,1→1,2→1/2,3→2,4→1/3,5→2/3……)。就说明有限个自然数集的笛卡尔积可数。所以有限多个可数集的笛卡尔积是可数的。

  另外,可数个元素个数不小于2的集合的笛卡尔积必然不可数,因为可数个(0,1)集合的笛卡尔积就已经能与二进制实数一一对应。

  由笛卡尔积定义知只需要证明集合个数为2时成立即可。利用A、B中元素下标i,j的和i+j为指标进行编号,即可构造一一映射。从而可以证明n=2成立。

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