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B是可数集为什么A和B的笛卡尔积集是无限集

gecimao 发表于 2019-06-15 20:30 | 查看: | 回复:

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  假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。[编辑本段]笛卡尔积的运算性质由于有序对中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.笛卡尔积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.笛卡尔积的运算性质.一般不能交换.笛卡尔积,把集合A,B合成集合A×B,规定A×B={xAyB}在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合A=B时,笛卡尔积就记作AA.[编辑本段]推导过程给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di,i=1,2,…,n}所有域的所有取值的一个组合不能重复例给出三个域:D1=SUPERVISOR={张清玫,刘逸}D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:D=D1×D2×D3={(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏)}这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。[编辑本段]序偶与笛卡尔积在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(orderedpairs),简记为。称x为的第一分量,称y为第二分量。定义3-4.1对任意序偶,,=当且仅当a=c且b=d。递归定义n元序组={{a1},{a1,a2}}={{a1,a2},{a1,a2,a3}}==两个n元序组相等=(a1=b1)∧…∧(an=bn)定义3-4.2对任意集合A1,A2,…,An,(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesianproduct),定义为A1×A2={x$u$v(x=∧uA1∧vA2)}={uA1∧vA2}(2)递归地定义A1×A2×…×AnA1×A2×…×An=(A1×A2×…×An-1)×An例题1若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)(B×A)。解A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,∈A×(BC)出发,推出∈(A×B)(A×C)再证明(A×B)(A×C)A×(BC)从∈(A×B)(A×C)出发,推出∈A×(BC)当*表示时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法)见P-103页。¤定理3-4.2设A,B,C为任意集合,若C≠F,那么有如下结论:AB(A×CB×C)(C×AC×B)¤定理前半部分证明思路:(谓词演算法)先证明AB(A×CB×C)以AB为条件,从∈A×C出发,推出∈B×C得出(A×CB×C)结论。再证明(A×CB×C)AB以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用附加式,推出x∈B得出(AB)结论。见P-103页。¤定理3-4.3设A,B,C,D为任意四个非空集合,那么有如下结论:A×BC×D的充分必要条件是AC,BD¤证明思路:(谓词演算法)先证明充分性:A×BC×DAC,BD对于任意的x∈A、y∈B,从∈A×B出发,利用条件A×BC×D,∈C×D,推出x∈C,y∈D。再证明必要性:AC,BDA×BC×D对于任意的x∈A、y∈B,从∈A×B出发,推出∈C×D。笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)x∈A且y∈B}。

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