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请问究竟什么是广义笛卡尔积?

gecimao 发表于 2019-06-06 18:29 | 查看: | 回复:

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  假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

  由于有序对x,y中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.

  给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:

  这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。

  本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。

  在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。

  序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。

  设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为x,y 。称x为x,y的第一分量,称y为第二分量。

  解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,β,3〉}

  B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}

  B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}

  (A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}

  A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}

  当*表示 时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤

  定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:

  以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用附加式,推出x∈B

  定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:

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